Amadeux Blog

Musica frattale e autogenerativa

Abbiamo sinora visto solo l’aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L’effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto gradevole.
L’altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l’autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un “ordine nel disordine”, un caos deterministico.

Un semplice esempio di musica frattale e’ il file midi che ascoltate in sottofondo. (Appena possibile metteremo a disposizione nella sezione dei brani da noi prodotti).

Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà.

In natura esistono tre tipi di rumori (noise):

- rumore bianco, meglio conosciuto come white noise;
- rumore marrone, meglio conosciuto come brown noise;
- rumore rosa, meglio conosciuto come pink noise.
Il white noise è il suono che si ode, ad esempio, quando la radio non è sintonizzata su una stazione: esso è del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento è indipendente dagli istanti precedenti.

Il brown noise è più strutturato del white noise, in esso sono presenti ugualmente suoni casuali, ma collegati ognuno al precedente da una regola.

Infine, il pink noise, che è più strutturato del bianco, ma meno strutturato del marrone; esso è più gradevole all’orecchio di quello bianco, forse troppo casuale, e di quello marrone, forse troppo rigido.

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Elettroencefalogramma

Come Mandelbrot ha dimostrato i rumori alla periferia del sistema nervoso centrale somigliano al white noise, mentre, più ci si avvicina al cervello, più si presentano pink noises. Forse è e per questo che preferiamo i suoni “rosa”.

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Applicati alla musica, i procedimenti frattali offrono risultati molto promettenti; la loro dinamica caotica offre, infatti, quel miscuglio di regole ed imprevedibilità che tanto affascina l’animo umano.
Per realizzare una musica frattale, preparata una curva opportuna, e disegnato su di essa un pentagramma, si dispongono poi le note in modo da ottenere la migliore musicalità. Solitamente un’altra curva frattale stabilisce la durata del suono stesso.

Musica generativa, le melodie automatiche

Programmi in grado di comporre pezzi musicali, teorie frattali e sviluppo di algoritmi genetici legati alla musica, suoni caotici autogenerati: l’informatica ha grande potenzialità

L’applicazione dell’intelligenza artificiale, o più semplicemente di processi d’elaborazione sintetici e autonomi, alla musica è ancora lontana dall’essere realizzata e non è paragonabile al livello raggiunto dalle composizioni intellettuali dell’uomo. L’idea di «musica automatica», a ogni modo, non è certo nuovissima, come si sarebbe portati a pensare: già nel 1787 a misurarsi con tali congetture fu Mozart che in quell’anno scrisse le istruzioni e le misure di un sistema di composizione per minuetto ottenuto attraverso un gioco di dadi. Basandosi sulle 176 possibili misure per un minuetto e 96 possibili forme ternarie, il genio austriaco compilò una tabella di regole per associare ai risultati delle giocate le rispettive note. In pratica questo è stato il primo algoritmo di composizione generativa.

Le sperimentazioni moderne

Da allora la matematica ha fatto parte di diverse sperimentazioni musicali, sia colte sia pop, ma per ritrovare la generazione musicale spontanea si deve tornare ai giorni nostri, dapprima con i tentativi più concettuali di Steve Reich e Terry Riley, e poi con uno dei più famosi guru dell’elettronica: Brian Eno. Già con uno dei suoi primi lavori seminali, Discreet Music del 1975, il celebre autore inglese si interessò alla produzione spontanea di esperienze musicali. In uno dei brani di questo album due semplici cicli melodici di diversa durata si ripetono separatamente, potendo così sovrapporsi in maniera arbitraria. Per esempio, un ciclo di 30 secondi e uno di 50 secondi si sovrappongono perfettamente ogni 1.500 secondi (30 moltiplicato 50). Di qui l’uso di diversi registratori a nastro, ciascuno contenente un ciclo, fatti suonare tutti insieme, in modo che lo stesso suono perfettamente sincrono sarebbe stato ripetuto solo dopo anni. Il passo successivo è venuto dall’utilizzo della tecnologia digitale non solo per raffinare questa tecnica, ma per evolverla, introducendo variabili probabilistiche che variassero davvero il brano a ogni esecuzione, specificando solo il dominio musicale entro cui comporre la sua struttura e i parametri su cui svilupparlo. A metà degli anni Novanta Eno fu contattato dai titolari della SSEYO , una software house che si sta specializzando in quest’ambito, e cominciò a usare il loro prodotto di punta, il programma Koan, che sfrutta adeguatamente le comuni schede audio dei Pc. A tutt’oggi la stessa ditta rende disponibili alcuni plug-in che permettono di scaricare i parametri necessari a generare il brano desiderato con il proprio hardware, un po’ come un file Midi, ma non definito nota per nota, bensì autogenerato a partire da alcuni dati. Un vantaggio immediato è che le dimensioni totali del file sono completamente indipendenti dalla durata della sua esecuzione, e quindi risulteranno davvero minime, in genere dai 5 ai 20 KB, oltre, come già detto, a non suonare mai sempre allo stesso modo. Per motivi strategici e di marketing, quindi, la SSEYO sta ora ribattezzando i suoi prodotti come Koan Audio Vectors, ossia «audio vettoriale».

In Italia

Nel nostro Paese, oltre a un veterano della ricerca come Piero Grossi, che per anni ha sviluppato queste teorie al dipartimento di Computer Music del Cnuce di Pisa, va anche segnalata Generative Art una conferenza internazionale a cadenza annuale, organizzata dal Politecnico di Milano sulle arti generative in senso lato, che riserva alcuni ambiti specifici dedicati alla parte musicale con workshop, performance dal vivo e seminari.

Frattali e algoritmi genetici sonori
Di musica frattale, ispirata alla teoria del caos, si è cominciato a parlare più o meno contemporaneamente al boom estetico e scientifico dei frattali visivi (così definiti da Mandelbrot nel 1975 prendendo spunto dal latino fractus, interrotto), e si è rivelato col tempo un argomento particolarmente gradito ai matematici con aspirazioni musicali, come testimoniano i tanti siti della Rete dedicati a quest’argomento. Un primo compendio di pagine a cui dare un’occhiata, ricco d’informazioni specifiche quasi come un mini-portale, è Fractal Music Lab che, come un piccolo bignami riporta sinteticamente tutte le teorie principali ed è fornito di una nutrita sezione di link da consultare per approfondire le diverse branche in cui sfocia la trattazione. Fra i primi a dedicare studi e risultati sono stati, invece, David Clark Little un chimico americano diplomato pure in composizione musicale, e il giapponese Yo Kubota che sul suo sito rende disponibili un paio di programmi gratuiti per comporre Mandelbrot Music.
Non c’è modo migliore per esperire una tecnica curiosa come questa se non provandola direttamente, e, per fortuna, non mancano i software gratuiti che permettono di sperimentare col proprio Pc la creazione di brani che si autogenerano. La Algorithmic Arts , per esempio, è una piccola casa di software che ha come prodotto di punta SoftStep, un sequencer per Windows che integra tool di composizione di diverso tipo, inclusi quelli che generano melodie basate su algoritmi frattali, a partire dalla teoria del caos, su basi probabilistiche e numeriche. Alcune brevi realizzazioni si possono scaricare dal sito, insieme a una versione lite del programma. Anche The Well-Tempered Fractal v 3.0, sviluppa ambiti frattali e legati alla teoria del caos, ed è completamente gratuito per Windows 95, completo di Midi d’esempio. Come pure MusiNum , sempre freeware per Windows che genera musica frattale attraverso successioni di cifre ottenute con semplici somme, composte secondo la teoria dei numeri e associate attraverso i principi di similarità autoreferenziale.
Tangent, infine, un altro freeware per Windows 95/98, evoluzione del precedente QuasiFractal Composer, usa metodi algoritmici, euristici, deterministici, stocastici, generativi e trasformativi, sintetizzando diversi approcci alla generazione automatica. Il suo autore insiste a definirne l’approccio come «eclettico neo-generativo», ma in termini più pragmatici basta dire che la particolarità di questo programma è che si basa sulle strutture più che sulle singole note. Dai frattali agli algoritmi genetici il passo è breve.
Genetic Jammer è un programma basato proprio su queste tecniche che impara a suonare assoli jazz d’improvvisazione, comunicando attraverso lo standard Midi con i suoi partner «umani». Il software è stato codificato da Al Biles, che ha creato così una sorta di band virtuale chiamandola, appunto, Al Biles Virtual Quintet, con lui che suona tromba e flicorno, e GenJam che risponde col sax tenore e altri strumenti.

Altri esperimenti

Ma è pur vero che in natura, comunque, si trovano numerose sequenze simmetriche che possono ispirare inediti accostamenti. Uno di questi è il patrimonio genetico, visto come la complessa struttura del Dna, e proprio a quest’associazione sono ricorsi i due musicisti Susan Alexjander e David Deamer che hanno ribattezzato le loro creazioni come DNA Music , associando alle basi le note di un sistema a quattro toni. Una sorta di reverse engineering, invece, è stata compiuta da David Cope, uno studioso californiano che ha sviluppato EMI – Experiments in Musical Intelligence arts.ucsc.edu/faculty/cope/mi.midi.html. EMI è un software che analizza i brani e ne isola melodie e ritmi ricorrenti, componendo poi sulla base di queste strutture. I risultati sono tanto convincenti che hanno ingannato un pubblico attento in una dimostrazione pubblica in cui furono messi a confronto brani originali di Bach con quelli generati da EMI. Va aggiunto che, comunque, gli algoritmi utilizzati funzionano egregiamente con stili molto ripetitivi (come Bach, appunto), mentre fanno cilecca con quelli che variano molto.
Conclusioni
Lo stesso Eno definisce la musica generativa come «tanto ignorabile, quanto interessante», ma ipotizza anche in maniera inquietante che i nostri nipoti un giorno ci potrebbero guardare stupiti e chiedere: «Ma davvero tu ascoltavi esattamente lo stesso brano per tante volte di seguito?». Trascurando un futuro, non troppo distante, in cui creature sviluppate ad hoc – come la pop star Kyoko Date di qualche anno fa, a cui si ispirava l’Aidoru dell’omonimo romanzo di William Gibson – confermino la raffinata concezione di creare non più soltanto un’opera musicale autonoma, ma un essere (antropomorfo o meno) che, a partire dai nostri modelli mentali, sarebbe in grado di produrre contenuti sempre diversi e originali, sorprendendoci proprio come i nostri simili.

Estratto di Sandro Ludovico - Internet News

Frattali in Natura ed in Fisiologia umana

Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell’ammonite, vissuto 300.000.000 di anni fa.
Archimede ne scrisse un trattato, “Sulle Spirali”. anche nella natura inanimata scopriamo spirali come ad esempio la galassia a spirale.

Le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica. La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il filo sempre teso; la fine del filo traccerà una spirale.
Il modo migliore per rappresentarla è con le coordinate polari r e f che costituiscono una valida alternativa alle coordinate cartesiane. r corrisponde alla distanza del punto P dall’ origine, modulo, e f all’ angolo tra OP e l’asse delle x. Da notare che r è sempre maggiore o uguale a 0 e l’angolo cresce in senso antiorario da 0 e una rotazione completa aumenta l’angolo di 2p radianti.

La spirale di Archimede è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula r=af. tutte le spirali di Archimede sono simili, differiscono solo per scala.

La spirale logaritmica sostituisce la r della spirale di Archimede con il log r, log r=af. Se a è maggiore di 0 la spirale cresce all’ infinito, se è minore di 0 procede verso il centro, se a=0 si ha una circonferenza. Il fattore di crescita dipende da f. Si può interpretare come gli spostamenti di una barca attorno ad un faro. Dopo un tratto in linea retta con angolo iniziale b rispetto alla linea che la congiunge con il faro, la nave avrà un angolo di b+a e dovrà aggiustare la rotta. Considerando spostamenti infinitesimi, riducendo a , si arriva ad una spirale indistinguibile da una spirale matematica.

Nel 1957 A. E. Bosman con La geometria nel pianeta: un campo miracoloso di ricerca voleva mostrare le miracolose figure geometriche della natura, prima fra tutte la spirale. Una delle sue figure più importanti è l’albero di Pitagora la cui costruzione è basata sul sistema binario.

Un quadrato ha un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che a sua volta ha gli altri due lati in comune con altri due quadrati e così via. La somma delle aree dei due quadrati più piccoli, per il teorema di Pitagora, è uguale all’area del quadrato iniziale e così anche le aree dei quadrati che si formano nei passaggi successivi, sommate, daranno l’area del primo quadrato. Si può avere un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi sul lato del primo quadrato.

La forma avvolta non è altro che una spirale logaritmica.

Si possono creare infinite spirali partendo dai quadrati. L’albero di Pitagora è un buon esempio di frattale matematico. Vi sono anche frattali a forma di stella, costruiti per esempio con una linea chiusa e successivi segmenti che si incrociano tutti con lo stesso angolo.

Si può comparare la curva di von Koch con una costa della Bretagna, ma la natura è creata con casualità. Se si considera la somiglianza statisticamente si creano frattali più realistici. Per far ciò occorre che ogni parte del frattale abbia le stesse proprietà statistiche. I metodi basati sul caso sono detti metodi di Monte Carlo, e in modo più formale stocastici dal verbo greco che sta per indovinare.

Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali. Per esempio si sceglie un numero di 4 cifre e si eleva al quadrato, poi si tolgono la prima e l’ultima cifra finché non rimangono ancora 4 numeri, si procede ancora con il quadrato e con il taglio delle cifre e così via: il risultato è una serie di numeri casuali tra 0 e 9999 che non fallisce test statistici di casualità e nello stesso tempo e stata creata con una regola precisa.
Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma da’ l’impressione che sia caotica.

Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l’albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi. Introducendo una certa casualità nella costruzione si potrebbe stabilire di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli rettangoli. questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di frattali rende quest’ultimi più simili a oggetti naturali come alberi, piante, coralli e spugne.

Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi infatti più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura.

Attraverso una semplice operazione, la biforcazione di un segmento, si possono ottenere delle “fronde” molto realistiche.

E’ interessante notare, parlando in termini informatici, che se si potesse riuscire ad aumentare il livello di realismo, la quantità di informazioni (quindi la dimensione di un file) da fornire al computer per visualizzare una felce su schermo, sarebbe infinitamente minore. Questo uso della geometria frattale è studiato da diversi anni e viene chiamato IFS (Iterated Function System).

Robert Brown nel 1828 scoprì che le particelle al microscopio si muovevano in modo imprevedibile e casuale. Questo è stato chiamato moto browniano. L’idea della curva di un frattale può aiutare a farsi un’impressione della traiettoria di un moto browniano. Si deduce che le proprietà statistiche non variano a seconda della scala. I frattali browniani sono molto naturali. Un paesaggio lunare potrebbe apparire come la superficie di un frattale: il crateri più grandi rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono vedere crateri; la locazione dei quali è del tutto casuale.

di Vittorio Gariboldi e Federico Miorelli

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I FRATTALI NEL MONDO VEGETALE E NEL PAESAGGIO

Se vediamo la terra dallo spazio, possiamo osservare i continenti con le loro coste, gli oceani e i mari, i fiumi maggiori.

Se ci avviciniamo, possiamo vedere solo una parte, ingrandita, dell’immagine precedente, ma la struttura del paesaggio non cambia: ancora coste, e “piccoli mari” e corsi d’acqua.
Le coste, in particolare, hanno infinita lunghezza anche se sono chiuse in una superficie finita, e i dettagli, per quanto ingranditi, non cambiano. Ecco, di nuovo, i frattali!

Nel regno vegetale si trovano esempi comuni di ramificazioni frattali: dalle felci, agli alberi, ai fiori.
Le loro forme, così diverse, così complesse, nascono allora da semplici codici genetici, come quelli che possono essere scritti al computer con poche righe di programma.

FRATTALI IN FISIOLOGIA UMANA

Nell’immagine (qui sotto) possiamo ammirare un disegno di Leonardo da Vinci raffigurante alcuni organi interni del corpo umano.

Oggi, possiamo individuare in questa rappresentazione strutture riconducibili ai frattali: tra queste, i vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture canalizzate.
Da studi effettuati su calchi di polmone umano e di altre specie di mammiferi è risultato che dette misurazioni mostrano i rapporti tipici di oggetti frattali.
Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta “frattale” fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.

L’immagine qui sotto mostra come lo sviluppo del feto sembri seguire una dinamica frattale, ipotesi ormai accreditata presso molti studiosi.

All’attualità, infine, la matematica dei frattali è applicata allo studio dei tumori (immagine qui sotto).
Si è scoperto, infatti, che nell’organismo colpito da tale patologia tendono a formarsi vasi sanguigni che nutrono, specificamente, le cellule tumorali. Riuscire a fermare tale fenomeno può voler dire sconfiggere la malattia.
Ebbene, recenti studi stanno dimostrando che lo sviluppo di tali vasi sanguigni può essere misurato con l’applicazione della matematica frattale.

Frattali e Musica

Geometria e logica frattale nella Natura, nell’Arte e nella Musica

Introduzione

Ringraziamo Federico Miorelli, Tommaso Terragni e Vittorio Gariboldi per le preziose informazioni e immagini fornite dal loro sito: http://www.miorelli.net/frattali

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“Eadem Mutata Resurgo”

“Why is geometry often described as ‘cold’ and ‘dry’? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastiline, or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line”
- Benoit B. Mandelbrot -

Così Mandelbrot nel suo libro The Fractal Geometry of Nature descrive l’inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione nella natura.
Mandelbrot è il padre fondatore della teoria dei frattali e inventore del famoso insieme che porta il suo nome.

Cos’è un frattale?
di Tommaso Terragni

La definizione più semplice e intuitiva lo descrive come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.

Triangolo di Sierpinski, 4 iterazioni
Triangolo di Sierpinski, 5 iterazioni

Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot e ha origine nel termine latino fractus, poichè la dimensione di un frattale non è intera, come spiegato nella sezione .

Introduzione
di Tommaso Terragni

Dalla fine del XIX secolo la scienza si è orientata verso lo studio di sistemi complessi: basti pensare allo sviluppo eccezionale che ha avuto la teoria quantomeccanica o quella della relatività. Queste due teorie sono indice di come la ricerca, anche grazie a metodi matematici potentissimi e a livelli di astrazione mai raggiunti fino al XX secolo, non sia più legata all’immediata comprensibilità da parte dell’Uomo; la quantomeccanica è rappresentata da un’equazione complessa y che ha significato fisico solo se moltiplicata per il suo coniugato. L’ultima frontiera della fisica, per quanto riguarda l’unificazione delle forze, sta cercando di provare che materia, energia, spazio e tempo siano generati da vibrazioni delle supercorde, cioè oggetti indivisibili a 10 dimensioni.

Questo scenario può sembrare inquietante ed in effetti ci troviamo in una situazione simile a quella che sconvolse i filosofi e li costrinse a rinnegare Newton quando egli tentò di abbandonare la metafisica, rinunciando a definire la forza gravitazionale, ma esprimendo solo i suoi effetti: egli disse “Hypotesis non fingo”, cioè, traducendo un po’ liberamente, “non sono in grado di dirvi che cos’è la forza di gravità”, ma posso dirvi come funziona, quali sono i suoi effetti, e posso darvi degli strumenti per prevederli. L’atteggiamento del fisico moderno è sempre lo stesso, egli infatti non è interessato all’intima essenza delle supercorde ma vuole da esse derivare una conoscenza unitaria della fisica. Grazie alla teoria relativistica abbiamo molte più informazioni sull’Universo di quante potessimo ricavare dalla fisica classica.

Nonostante i grandiosi progressi fatti, oggi, scoprire le leggi fondamentali e comprendere “in principio” la struttura del mondo, non è più sufficiente. Sempre più importante diventa investigare le molteplici forme attraverso le quali si manifestano tali principi. Bisogna stare attenti a non confondere la causa con l’effetto: non è la natura che si deve adeguare alle leggi create dall’uomo per prevedere i probabili eventi; sono invece le leggi che devono diventare sempre più accurate nella descrizione di ogni tipo di fenomeno. Newton ha creato un Universo parallelo a quello reale, un universo nel quale un corpo con una certa velocità iniziale, sul quale non agiscano forze, la mantiene fino alla fine del tempo (anche esso infinito). Nulla di tutto ciò corrisponde alla realtà. Ogni corpo cambierà velocità e il tempo stesso ha avuto un inizio (e forse avrà anche una fine, se la materia dell’Universo dovesse superare un limite critico). In questo universo reale sono presenti infiniti elementi “perturbatori”, il che lo rende fondamentalmente diverso dall’universo newtoniano. Basti pensare al problema della determinazione del moto di tre corpi fra i quali vi siano forze di tipo gravitazionale, di formulazione semplicissima, eppure irrisolvibile: le equazioni che lo caratterizzano, tecnicamente, non sono integrabili (possono solo essere risolte con il metodo delle successive approssimazioni di Newton, che genera esso stesso un frattale), e quindi un minimo errore nella determinazione delle condizioni iniziali, può, alla lunga, determinare un errore non trascurabile: è quindi necessario aggiungere dati sperimentali dopo un intervallo di tempo, per limitare le imprecisioni.

Questa tendenza alla complessità, può essere bene esemplificata appunto dai frattali, figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva: noi non potremo mai sapere come sia la figura finale che ha le proprietà di una frattale, ma dovremo sempre limitarci ad un’approssimazione, che può essere indicativa ma non è il frattale. È la stesso problema che si verifica nei sistemi cosiddetti “non lineari”: non è possibile determinare la situazione finale date solo le condizioni di partenza, ma bisogna continuamente aggiungere dati “sperimentali”. Queste problematiche hanno dato l’avvio allo studio del “caos deterministico”, cioè di situazioni di disordine ottenute però da processi matematico-fisici deterministici. Gli studi a proposito sono ancora in grande sviluppo e i frattali si inseriscono prepotentemente in questa nuova branca della matematica. Noi non possiamo sapere come sarà la configurazione finale del sistema a infinite iterazioni, ma sapremmo benissimo come calcolarla; è una situazione simile a quella del fisico classico che conosce perfettamente come si muove un corpo, anche considerando attriti, campi elettromagnetici dell’ambiente e del corpo stesso e tutti gli altri possibili elementi perturbatori, ma non sa il vero valore di p. Probabilmente i suoi calcoli saranno accurati a sufficienza per ogni tipo di applicazione pratica possibile e immaginabile, ma non potrebbe prevedere deterministicamente la situazione del sistema dopo un tempo infinito.

Tuttavia con lo sviluppo continuo ed esponenziale della capacità di calcolo, si possono creare figure che hanno la stessa valenza matematica per la rappresentazione del frattale vero e proprio (quello che ha, cioè, significato matematico e che gode di alcune proprietà) della valenza di un segno su un foglio per la rappresentazione della retta. Il computer si sostituisce quindi alla matita, non alla mente del matematico, che è l’unico mezzo in grado di fare della matematica. Infatti i frattali erano già stati studiati per le loro proprietà topologiche da Julia negli anni ‘20, ma non erano mai stati visualizzati graficamente, né si sapeva come potesse essere la forma dei “bacini di attrazione” di una funzione che veniva continuamente iterata con se stessa. Tutto quello che è mancato a Julia è stata la capacità di calcolo che ha invece avuto B. B. Mandelbrot negli anni ‘80 al centro “T. J. Watson” dell’IBM. E certamente questo, cioè riuscire a visualizzare questi strani oggetti matematici e associarli a forme presenti in Natura, ha determinato il successo di Mandelbrot; questa associazione sembra quasi svelare un progetto segreto che un’entità superiore abbia realizzato per via matematica creando la Natura. Per questo negli anni ‘80 (”The fractal geometry of Nature” è del 1982) si è cercato di trovare in tutto un frattale. Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti, infatti uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura. Tuttavia, per esempio, in un albero, la foglia è strutturalmente diversa dal tronco e dai rami quindi i frattali possono essere usati come analogie. Ci si potrebbe chiedere se tutto ciò sia scientificamente valido, e, considerando gli sviluppi nella direzione della complessità, io direi di sì, perché ormai le ultime frontiere della scienza non sono più comprensibili, ma vanno espresse attraverso “metafore” e “analogie”; la Scienza ha ormai bisogno di un nuovo linguaggio, adatto a esprimere l’incomprensibile per la mente umana. Non viviamo più nell’ universo liscio di Newton, ma nell’Universo delle iperconnessioni, della pluridimensionalità e della relatività, che lo rendono piegato e rugoso come un straccio. Forse non è facile accettare una situazione come questa dopo tre secoli nei quali l’universo ci è parso liscio e sicuro, illuminato dalla rassicurante presenza di Isaac Newton.

“If I have seen further than others, it is by standing upon the shoulders of giants”
- Sir Isaac Newton -